package com.dy.数学.中级.平方根;
/*
 x 的平方根
实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:

输入: 4
输出: 2
示例 2:

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842...,
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
 */
public class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if(x<=1) return x;
        int start =1;
        int end =x;
        while(start<=end){
            int mid = start+(end-start)/2;
            if(mid >x/mid) end = mid-1;
            else start = mid+1;
        }
        return start-1;
    }
    //牛顿迭代法
    /**
     * 计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。
     *
     *    首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。
     *
     *    同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。
     *
     *    以此类推。
     *
     *    以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。
     *
     *    判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：
     *
     *    一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。
     *
     *
     *
     * 经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，
     * 本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。
     *
     * 继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
     */
    public int mySqrt2(int x) {
        long res = x;
        while (res * res > x) {
            res = (res + x / res) / 2;
        }
        return (int)res;
    }
}
